La probabilidad no trata de posibilidades, sino sobre la creencia de la existencia de un resultado, causa o motivo alternativo. Nassim Taleb

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA MATEMÁTICA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA:

El valor esperado de una variable aleatoria E(x) es un parámetro de centralización y su significado es similar al de la media aritmética de un conjunto de datos. En realidad, puede considerarse que es una generalización del concepto de media aritmética, esto se refiere a un conjunto de datos que en la mayoría de los casos constituyen una muestra de una población mucho mayor, E(x) coincidiría con la media aritmética poblacional en el caso de que pudiera estudiarse toda la población, en este caso E(x)= Ω pero este calculo seria posible en algunas poblaciones finitas.

En el caso de una variable aleatoria discreta, el calculo del valor esperado se realiza según, la siguiente expresión:                                                        
                                                                      ∞

E(x) = Σ Xi f(Xi)

                                                                     i=1

Propiedades de la Esperanza Matemática:

• El valor esperado de una constante es igual a ella misma E(C) = C, siendo C una constante.

         Ejemplos: Si la constante es el numero 2, entonces se tiene que: E(2) = 2

                         Si la constante es el numero 8, entonces se tiene que: E(8) = 8

• Si X y Y son variables aleatorias se cumple que: E(X+Y) = E(X) + E(Y) ; esto indica que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de dos valores esperados.

        Ejemplos: E(2+8) = E(2) + E(8)

                        E(4+3) = E(4) + E(3)

• El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable: E(C . X) = C . E(X)

        Ejemplos: E(4 . X) = 4 . E(X)

                        E(3 . X) = 3 . E(X)

• Si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes, entonces se tiene que:  
  E(X .Y) = E(X) . E(Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes

        Ejemplos: E(3 . 4) = E(3) . E(4) Solo si 3 y 4 son variables aleatorias independientes

                        E(5 . 2) = E(5) . E(2) Solo si 5 y 2 son variables aleatorias independientes

EJEMPLO: Sean X e Y dos variables aleatorias cuyos valores esperados son: E(X) = 6 y E(Y) = 5. Calcular E(2X + 4Y + 3). Aplicando las propiedades del valor esperado se tiene:

E(2X + 4Y + 3) = E(2X) + E(4Y) + E(3)

Se ha aplicado la segunda propiedad donde: el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de dos valores esperados.

E(2 . X) = 2 . E(X) Tercera propiedad

E(4 . Y) = 4 . E(Y) Tercera propiedad

E(3) = 3 Primera propiedad

E(2X + 4Y + 3) = E(2X) + E(4Y) + E(3) = 2.6 + 4.5 + 3 = 12 + 20 + 3 = 35



VARIANZA MATEMÁTICA:

La esperanza y la mediana de una variable aleatoria son características de su distribución que describen un valor central. Sin embargo, variables aleatorias con distribuciones muy distintas pueden tener la misma esperanza. Por ejemplo pueden diferir en cuan dispersos alrededor de la esperanza están los valores que toma la variable. Variables con la misma esperanza pueden estar más o menos dispersas. Esto nos lleva a definir otras características de una variable aleatoria, que midan la dispersión alrededor de un valor central. Tampoco existe una única manera de medir dicha “dispersión”. Consideremos una variable aleatoria X. Podríamos considerar la distancia entre los valores que toma X y su esperanza, es decir |X − E (X)| y como esto resulta ser una variable aleatoria, calcular su esperanza E (|X − E (X)|) .

Definimos la varianza de la variable aleatoria X por :

Var (X) = E ((X − E (X)² )

Esta definición equivale a:

V(X) = E(X²) – (E(X))²

E(X) = Σ X_i f(X_i)

E(X²) = Σ X_i² f(X_i)

La varianza puede interpretarse como un momento de la distribución de probabilidad respecto a la esperanza. La varianza aumenta al aumentar la dispersión de la probabilidad respecto a la esperanza.

Propiedades de la Varianza Matemática:

• Var (C) = 0 La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión, evidentemente
  
  
  
  
  una constante no puede tener dispersión y su varianza es cero.

        

         Ejemplos: Var (4) = 0

                          

                         
                        
                         Var (3) = 0

• Var (C . X) = C² Var(X) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a 
  
  
  
  la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

        Ejemplos: Var (3X) = 9 Var (X)

                         

                        
                        
                        Var (4X) = 16 Var (X)

• Si X e Y son variables aleatorias cualesquiera: Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y) 
  
  
  
  
  Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y 
  
  
  
  
  son dos variables independientes Cov(X, Y) = 0 por lo tanto: Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y)

         La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

     

        

         Ejemplo: X e Y son dos variables aleatorias independientes, con los siguientes parámetros: 

        

        

         E(X) =3 ;   E(Y) = 4 ; Var(X) = 6 ; Var(Y) = 8

    

     

Hallar los valores pedidos a continuación:

a) E(X – Y)

b) Var(X – Y)

c) E(3X – 4Y + 5)

d) Var(3X – 4Y + 5)

a) E(X – Y) = E(X +(-Y)) = E(X) + E(-Y) = E(X) – E(Y) = 3 – 4 = -1

b) Var(X – Y) = Var(X +(-Y)) Teniendo en cuenta que las dos variables son independientes y según la 

tercera propiedad de la varianza: Var(X) + Var(-Y) = Var(X) + Var(Y) = 6 + 8 = 14

c) E(3X – 4Y + 5) = E(3X) – E(4Y) + E(5)

                          

                       
 
                           = 3 . E(X) – 4. E(Y) + 5

                               

                          

                           = 3 . 3 – 4 . 4 + 5 = -2

d) Var(3X – 4Y + 5) = Var(3X) + Var(-4Y) + Var(5)

Var(3X) = 9. Var(X) = 9 . 6 = 54

Var(-4Y) = 16. Var(Y) = 16 . 8 = 128

Var(5) = 0

Var(3X – 4Y + 5) = 54 + 128 = 182

DESVIACIÓN TÍPICA:

Como la varianza tiene unidades al cuadrado, se define las desviación típica (d.t.) (también llamada 

estándar) como la raíz cuadrada de la varianza:

d.t. = V(X)

En general, la varianza de una variable se denomina como σ². Por lo tanto la desviación típica sera: σ

V(X) = σ²

d.t. = V(X) = σ² = σ